Fråga:
Hur bestäms jordens massa?
Kenshin
2014-04-16 10:12:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enligt lärobokens kunskap är jordens massa cirka $ 6 × 10 ^ {24} \, \ mathrm {kg} $. Hur bestäms detta antal när man inte bara kan väga jorden med hjälp av vanliga skalor?

Fem svar:
#1
+37
Mr_Green
2014-04-16 10:36:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Enligt Newtons Gravity Law baserat på attraktiv kraft (gravitationskraft) som två massor utövar på varandra:

$ $ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} $$

Var:

  • $ F $ är gravitationskraften
  • $ G = 6,67 \ times 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm { kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ är en konstant proportionalitet
  • $ M $ span> och $ m $ är de två massorna som utövar krafterna
  • $ r $ span > är avståndet mellan de två masscentrumen.

Från Newtons andra rörelselag :

$$ F = ma $$

Var:

  • $ F $ är kraften som appliceras på ett objekt
  • $ m $ är objektets massa
  • $ a $ är dess acceleration på grund av kraften.

Likställer båda ekvationerna :

$$ F = \ frac {GmM} {r ^ 2} = ma $$

$$ \ frac {GM} {r ^ 2} = a $$ ( $ m $ avbryts.)

Nu lösa för $ M $ , jordens massa.

$$ M = \ frac { ar ^ 2} {G} $$

Där $ a = 9.8 \ \ mathrm {m} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ , $ r = 6,4 \ gånger 10 ^ 6 \ \ mathrm {m} $ och $ G = 6,67 \ gånger 10 ^ {- 11} \ \ mathrm {m} ^ 3 \ \ mathrm {kg} ^ {- 1} \ \ mathrm {s} ^ {- 2} $ .

$$ M = 9.8 \ times (6.4 \ times 10 ^ 6) ^ 2 / (6.67 \ times 10 ^ {- 11}) \ \ mathrm {kg} $$


Därför,

$ M = 6,0 \ gånger 10 ^ {24} \ \ mathrm {kg} $

Mew, det finns en av de finaste texterna i vetenskapshistoria, med titeln Matematiska principer för naturfilosofi där gravitationens lag utvecklades från F = MA.
Du bör tydliggöra r i den allmänna ekvationen är avståndet mellan föremålens tyngdpunkter (en gravitationskraft verkar också på ett föremål på jordytan även om avståndet mellan föremålet och jorden är 0). Enligt min mening är det också tydligare att uttrycka de kvadrerade exponenterna som till exempel "r ^ 2" istället för "r2" eftersom det undviker tvetydighet (menar du "r * r" eller "r * 2"?). Bortsett från det är det ett bra svar :-)
Jag känner att det här svaret måste åtminstone erkänna hur vi kunde bestämma a och G
#2
+34
David Hammen
2014-04-24 17:40:45 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Obs: Jag uppdaterade det här svaret för att inkludera en beskrivning av de historiska teknikerna.

Historiska tekniker

Newton utvecklade hans gravitationsteori främst för att förklara rörelserna från kropparna som bildar solsystemet. Han insåg också att medan gravitationen får jorden att kretsa kring solen och månen kretsar kring jorden, är den också ansvarig för att äpplen faller från träd. Allt lockar allt annat, gravitationsmässigt. Det föreslog att man i teorin kunde mäta gravitationsattraktionen mellan ett par små sfärer. Newton insåg själv detta, men han tyckte inte att det var särskilt praktiskt. Visst inte två små sfärer (Newton 1846):

Varifrån en sfär med en fot i diameter och av en liknande natur till jorden skulle locka en liten kropp placerad nära dess yta med en kraft 20000000 gånger mindre än jorden skulle göra om den placeras nära dess yta; men så liten kraft kunde inte ge någon förnuftig effekt. Om två sådana sfärer var avlägsna men med en tum, skulle de inte ens i motståndsfria utrymmen komma samman med kraften av deras ömsesidiga attraktion på mindre än en månads tid; och mindre sfärer kommer att samlas i en takt som är ännu långsammare, nämligen i andelen av deras diametrar.

Kanske ett berg?

Nej, hela berg kommer inte räcker för att ge någon förnuftig effekt. Ett berg av en halvklotform, tre mil högt och sex brett, kommer inte genom sin attraktion att dra pendeln två minuter ur den verkliga vinkelrätten: och det är bara i planeternas stora kroppar som dessa krafter ska vara uppfattas ...

Newtons idé om opraktiskiteten hos sådana små mätningar skulle visa sig vara felaktig. Newton visste inte att den vetenskapliga revolutionen som han själv hjälpte till skulle snabbt möjliggöra sådana små mätningar.


Vägning av jorden med hjälp av berg

Det första försöket att "väga jorden" gjordes under det franska geodesiska uppdraget till Peru av Pierre Bouguer, Charles Marie de La Condamine och Louis Godin. Deras primära uppdrag var att bestämma formen på jorden. Hade jorden en ekvatorial utbuktning, som Newton förutspådde? (Fransmännen hade skickat ett annat team till Lappland för att uppnå samma mål.) Bouguer använde resan som ett tillfälle för att testa Newtons förslag om att ett berg skulle avböja en lod från det undersökta normala. Han valde Chimborazo som ämne berg. Tyvärr kom mätningarna helt fel. Plumbobben avböjdes, men i fel riktning. Bouguer mätte en liten avböjning från berget (Beeson, webbsida).

Nästa försök var Schiehallion-experimentet. Under undersökningen av Mason-Dixon-linjen fann Charles Mason och Jeremiah Dixon att deras kalibreringar ibland bara inte kunde göras för att komma överens med varandra. Orsaken var att deras lod bobs ibland avviker från det undersökta normala. Denna upptäckt ledde till Schiehallion-experimentet utfört av Nevil Maskelyne. Till skillnad från Bouguer fick Maskelyne ett positivt resultat, en avböjning på 11,6 bågsekunder och i rätt riktning. De observerade avböjningarna ledde Maskelyne till slutsatsen att jordens genomsnittliga densitet är 4,713 gånger den för vatten (von Zittel 1914).

Det visar sig att Newtons idé att använda ett berg i grunden är bristfällig. Andra försökte upprepa dessa experiment med andra berg. Många mätte en negativ avböjning, liksom Bouguer. Det finns en bra anledning till detta. Av samma anledning att vi bara ser en liten del av ett isberg (huvuddelen är under vattnet) ser vi bara en liten del av ett berg. Huvuddelen av berget är inne i jorden. Ett enormt isolerat berg bör göra att en lodsvamp avviker från berget.


Vägning av jorden med hjälp av små massor

Så om det är tvivelaktigt att använda berg, vad säger det om tviveligheten att använda små massor som skulle ta månader att närma sig varandra även om de separerade med bara tum?

Detta visade sig vara mycket bra idé. Dessa små massor är kontrollerbara och deras massor kan mätas med hög noggrannhet. Det finns ingen anledning att vänta tills de kolliderar. Mät helt enkelt den kraft de utövar på varandra.

Denna idé låg till grund för Cavendish-experimentet (Cavendish 1798). Cavendish använde två små och två stora blyfärer. De två små kulorna hängdes från motsatta ändar av en horisontell träarm. Träarmen hängde i sin tur upp av en tråd. De två stora sfärerna var monterade på en separat enhet som han kunde vända för att föra en stor sfär mycket nära en liten sfär. Denna nära separering resulterade i en gravitationskraft mellan de små och stora sfärerna, vilket i sin tur ledde till att tråden som höll träarmen vred. Vridningen i tråden verkade för att motverka denna gravitationskraft. Så småningom kom systemet till ett jämviktstillstånd. Han mätte torsionen genom att observera armens vinkelavvikelse från dess otvivlade tillstånd. Han kalibrerade denna vridning med en annan uppsättning mätningar. Slutligen kunde Cavendish genom att väga dessa blysfärer beräkna jordens genomsnittliga densitet.

Observera att Cavendish inte mätte den universella gravitationskonstanten G. Det nämns inte en gravitationskonstant i Cavendishs papper. Uppfattningen att Cavendish mätte G är lite historisk revisionism. Den moderna noteringen av Newtons lag om universell gravitation, $ F = \ frac {GMm} {r ^ 2} $, existerade helt enkelt inte på Cavendishs tid. Det var först 75 år efter Cavendishs experiment att Newtons lag om universell gravitation omformulerades i termer av gravitationskonstanten G. Forskare från Newtons och Cavendishs tid skrev i proportionalitet snarare än att använda en konstant proportionalitet.

Själva avsikten med Cavendishs experiment var att "väga" jorden, och det var precis vad han gjorde.


Moderna tekniker

Om jorden var sfärisk, om det inte fanns några andra störande effekter som gravitationsacceleration mot månen och solen, och om Newtons gravitationsteori var korrekt, ges perioden av en liten satellit som kretsar kring jorden genom Keplers tredje lag: $ \ left (\ frac T {2 \ pi} \ right) ^ 2 = \ frac {a ^ 3} {GM_E} $. Här är $ T $ satellitens period, $ a $ är satellitens halvhuvudaxel (omloppsradie), $ G $ är den universella gravitationskonstanten och $ M_E $ är jordens massa.

Från detta är det enkelt att lösa produkten $ G M_E $ om perioden $ T $ och omloppsradien $ a $ är känd: $ G M_E = \ left (\ frac {2 \ pi} T \ höger) ^ 2 a ^ 3 $. För att beräkna jordens massa behöver man bara dela med $ G $. Det finns dock en fångst. Om produkten är $ G M_E $ är känd med en hög grad av noggrannhet (och det är), kommer att dividera med $ G $ förlora mycket noggrannhet eftersom gravitationskonstanten $ G $ bara är känd med fyra decimaler av noggrannhet. Denna brist på kunskap om $ G $ plågar i sig någon exakt mätning av jordens massa.

Jag lägger många försiktighetsåtgärder vid denna beräkning:

  • Jorden är inte inte sfärisk. Jorden är bättre modellerad som en oblat sfäroid. Den ekvatoriella utbuktningen stör satelliternas banor (liksom avvikelser från den oblata sfäroidmodellen).
  • Jorden är inte ensam i universum. Gravitation från månen och solen (och de andra planeterna) stör satellitbanorna. Det gör också strålning från solen och från jorden.
  • Newtons gravitationsteori är bara ungefär korrekt. Einsteins allmänna relativitetsteori ger en bättre modell. Avvikelser mellan Newtons och Einsteins teorier kan observeras med tanke på exakta mätningar under en lång tidsperiod.

Dessa störningar måste tas med i beräkningen, men grundidén står fortfarande: man kan "väga jorden" genom att precis observera en satellit under en lång tidsperiod. Det som behövs är en satellit som är särskilt anpassad för detta ändamål. Här är det:

!LAGEOS

Detta är LAGEOS-1, lanserades 1976. En identisk tvilling, LAGEOS-2, drevs ut 1992. Dessa är extremt enkla satelliter. De har inga sensorer, inga effektorer, ingen kommunikationsutrustning, ingen elektronik. De är helt passiva satelliter. De är bara massiva mässingskulor med en diameter på 60 cm, täckta med retroreflektorer.

Istället för att låta satelliten göra mätningar riktar människor på marken lasrar mot satelliterna. Att satelliterna är täckta med retroreflektorer betyder att en del av laserljuset som träffar en satellit kommer att reflekteras tillbaka till källan. Exakt timing av fördröjningen mellan utsändningen och mottagandet av det reflekterade ljuset ger ett exakt mått på avståndet till satelliten. Exakt mätning av frekvensförändringen mellan den sända signalen och retursignalen ger ett exakt mått på hastigheten med vilken avståndet förändras.

Genom att ackumulera dessa mätningar över tid kan forskare mycket exakt bestämma dessa satellitbanor, och därifrån kan de "väga jorden". Den aktuella uppskattningen av produkten $ G M_E $ är $ G M_E = 398600.4418 \ pm 0.0009 \ \ text {km} ^ 3 / \ text {s} ^ 2 $. (NIMA 2000). Det lilla felet betyder att detta är korrekt med 8,6 decimaler. Nästan alla fel i jordens massa kommer att komma från osäkerheten i $ G $.

Referenser

M. Beeson, "Bouguer misslyckas med att väga jorden" (webbsida)

H. Cavendish, "Experiment för att bestämma jordens densitet," Phil. Trans. R. Soc. London, 88 (1798) 469-526

I. Newton (översatt av A. Motte), Principia, Världens system (1846)

NIMA Technical Report TR8350.2, "Department of Defense World Geodetic System 1984, Its Definition and Relationships With Local Geodetic Systems", tredje upplagan, januari 2000

K. von Zittel (översatt av M. Ogilvie-Gordon), "History of Geology and Palæontology to the End of the Nineteenth Century," (1914)

Bra svar. Jag visste att den moderna metoden skulle använda satelliter, men visste inte detaljerna.
#3
+15
hugovdberg
2014-04-16 10:35:36 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Jordens massa kan bestämmas av det så kallade Cavendish-experimentet. Henry Cavendish använde en apparat för att bestämma gravitationskonstanten G som visas i hela ekvationen för gravitationskraften:

$$ F = {Gm_1m_2 \ över R ^ 2} $$

där $ m_1 $ och $ m_2 $ är massorna av två objekt, $ R $ avståndet mellan tyngdpunkten för objekten och $ G $ gravitationskonstanten (ungefär $ 6,674 \ gånger 10 ^ {- 11} \ mathrm {N ~ m ^ 2 ~ kg ^ {- 2}} $).

Eftersom jordens diameter är känd, liksom gravitationskonstanten, bestämmer gravitationskraften på ett objekt med känd massa oss massan av objektet som utövar den kraften (så jorden).

#4
+12
winwaed
2014-04-16 19:55:08 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Cavendish kan ha använt ett mer direkt tillvägagångssätt, men Neville Maskelyn gjorde det tidigare i Schiehallion Experiment - publicerade 1778. Mycket en upplysningshistoria som involverade pengar kvar från Cooks expedition för att observera Transit av Venus; Mason & Dixon; och även Benjamin Franklin var inblandad i den tidiga planeringen.

Schiehallion är symmetriskt och relativt isolerat berg i Skottland. Genom att mäta formen (och uppfinna konturlinjer i processen!) Är det möjligt att beräkna volymen. Från stenprovtagning kan du sedan beräkna bergets massa. När man tittar på pendelavböjningen kan du beräkna förhållandet mellan jordens massa och Schiehallions massa.

Med hjälp av en modern digital terrängmodell och geologiska modeller ger Maskelyns pendelmätningar ett resultat som överensstämmer med strömmen accepterat värde av G (eller M - de är två sidor av samma mynt).

Som en åtminstone har jag vandrat uppför berget för ungefär 18 månader sedan. Om vädret är klart får du några fantastiska vyer eftersom det inte finns några berg som stänger (vilket också skulle störa mätningarna).

#5
+10
Neo
2014-04-16 10:37:39 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Det enklaste sättet är att använda en gravimeter från en satellit och lösa den berömda inversa kvadratiska lagekvationen som Newton kom med för århundraden sedan.

Ett annat sätt, som kan vara en värdefull övning (jag hade att göra det i en geofysiklass i fast jord) är att anta en 4-skiktad jord (skorpa, mantel, yttre kärna, inre kärna). Använd seismiska data för att inte bara få djupet i varje lager (genom S / P-reflektioner) utan också densiteterna för varje lager genom seismiska hastigheter. Du kan anta homogena densiteter för varje "skal" och hitta massan med hjälp av jordens omkrets (och därmed diameter).

Du kan också lösa det med hjälp av kepler / newtonlagar för planetrörelse, om du vet avståndet mellan två kroppar (jorden och månen / jorden och solen).

IE, det finns många sätt på vilka Newtons tyngdlag ger oss en mycket god approximation för jordens massa.

* Det enklaste sättet är att använda en gravimeter från en satellit *. Du har en ovanlig uppfattning om ordet ”lätt”.
Jag tror att det är väldigt svårt att sätta satelliten i omloppsbana och till och med bygga gravimetern, men att använda den gravimetern (data som redan samlats in) är en URL bort. http://topex.ucsd.edu/WWW_html/bkgrd.html
Det här fungerar inte alls! Gravimetrar mäter inte tyngdkraften. De mäter den uppåtgående normala kraften som utövas av marken som hindrar gravimetern från att sjunka ner i jorden. Eftersom gravimetern är stillastig, fungerar den mätningen av den uppåtgående kraften som en ingång för gravitation. En satellit är i fritt fall. En gravimeter på en satellit kommer att mäta * noll * (eller nära noll om den är i låg jordbana). Ett par gravimetrar på en satellit kan mäta gravitationens lutning; det är grunden för GOCE-satelliten (den hade tre sådana par). Men det behöver en basmodell för jordens gravitation.


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...