Fråga:
Varför är inte jorden en sfär?
WAF
2014-04-16 12:35:27 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Vi har alla lärt oss i skolan att jorden var en sfär. Egentligen är det mer eller mindre en något tillplattad sfär - en avlagrad ellipsoid av revolution, även kallad en oblat sfäroid. Detta är en ellips som roteras kring dess kortare axel. Vilka är de fysiska orsakerna till detta fenomen?

Jag har precis länkat till din fråga i [Är jordens "päronform" mestadels J₃?] (Https://space.stackexchange.com/q/45348/12102)
@Uhoh: För en mer detaljerad bild av jordens form, missa inte påverkan av konvektion, antal och styrka av konvektionsströmmar och lager i manteln etc. Jag har nyligen läst om betydande inflytande, åtminstone över geologisk tidsskala. Kommer inte ihåg var, tho, ...
Tre svar:
#1
+22
Kenshin
2014-04-16 13:01:26 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Normalt, i avsaknad av rotation, är tyngdkraftens naturliga hyresförmåga att dra samman jorden i form av en sfär.

Jorden utbuktar faktiskt vid ekvatorn och diametern över ekvatorialplanet är 42,72 km mer än diametern från pol till pol.

Detta beror på jordens rotation.

enter image description here

Som vi kan se på bilden ovan verkar den snurrande skivan bukta ut vid de punkter på skivan längst bort från rotationsaxeln.

Detta beror på att för att partiklarna i skivan ska förbli i omlopp måste det finnas en inåtgående kraft, så kallad centripetal force, ges av:

$$ F = \ frac {mv ^ 2} {r}, $$

där $ F $ är kraften, $ m $ är massan av den roterande kroppen, $ v $ är hastigheten och $ r $ är partikelradie från rotationsaxeln.

Om skivan roterar med en given vinkelhastighet, säg $ \ omega $, då den tangentiella hastigheten $ v $, ges av $ v = \ omega r $.

Därför

$$ F = m \ omega ^ 2r $$

Därför ju större partikelns radie, desto mer kraft krävs för att upprätthålla en sådan omlopp.

Därför kommer partiklar på jorden nära ekvatorn, som är längst bort från rotationsaxeln, att bula utåt eftersom de kräver en större inre kraft för att upprätthålla sin omlopp.


Ytterligare detaljer för mer matematisk skrivkunnig nu när mathjax är aktiverat:

Nettokraften på ett objekt som roterar runt ekvatorn med en radie $ r $ runt en planet med en gravitationskraft på $ \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} $ är den centripetala kraften som ges av,

$$ F_ {net} = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - N = m \ omega ^ 2r, $$ där $ N $ är den normala kraften.

Omarrangemang av ovanstående ekvation ger:

$$ N = \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} - m \ omega ^ 2r $$

Den normala kraften här är den upplevda nedåtgående kraften som en roterande kropp observerar. Ekvationen visar att den upplevda nedåtgående kraften minskas på grund av den centripetala rörelsen. Det typiska exemplet för att illustrera detta är att det ser ut som tyngdkraften 0 i en satellit som kretsar kring jorden, för i den här situationen är centripetalkraften exakt balanserad av gravitationskraften. På jorden är emellertid centripetalkraften mycket mindre än gravitationskraften, så vi uppfattar nästan hela bidraget på $ mg $.

Nu kommer vi att undersöka hur den upplevda gravitationskraften skiljer sig åt i olika latitud. Låt $ \ theta $ representera latitud. Låt $ F_G $ vara gravitationskraften.

I vektornotation tar vi $ j $ -riktningen för att vara parallell med rotationsaxeln och $ i $ -riktningen för att vara vinkelrät med axeln av rotation.

I avsaknad av jordens rotation,

$$ F_G = N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ cos \ theta) \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} \ sin \ theta) \ tilde {j} $$

Det är lätt att se att ovanstående ekvation representerar den upplevda tyngdkraften i frånvaron av rotation. Nu verkar centripetalkraften bara i i-riktningen, eftersom den verkar vinkelrätt mot rotationsaxeln.

Om vi ​​låter $ R_ {rot} $ vara rotationsradien är centripetalkraften $ m_1 \ omega ^ 2R_ {rot} $, vilket för en latitud på $ \ theta $ motsvarar $ m_1 \ omega ^ 2r \ cos {\ theta} $

$$ N = (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2} + m_1 \ omega ^ 2r) \ cos {\ theta} \ tilde {i} + (- \ frac {Gm_1m_2} {r ^ 2}) \ sin {\ theta} \ tilde { j} $$

Genom att jämföra denna ekvation med det fall som visats tidigare i frånvaro av rotation, är det uppenbart att när $ \ theta $ ökas (latitudvinkel) blir rotationseffekten på upplevd gravitation försumbar, eftersom den enda skillnaden ligger i $ x $ -komponenten och $ \ cos \ theta $ närmar sig 0 när $ \ theta $ närmar sig 90 grader latitud. Men det kan också ses att när theta närmar sig 0, nära ekvatorn, reduceras tyngdkomponenten $ x $ som en följd av jordens rotation. Därför kan vi se att storleken på $ N $ är något mindre vid ekvatorn än vid polerna. Den minskade synliga gravitationsdragningen här är det som ger upphov till jordens svaga utbuktning vid ekvatorn , med tanke på att jorden ursprungligen inte var så stel som den är idag (se annat svar).

Förutsatt att tyngdkraften är ungefär lika över jordens yta, eller hur?
@naught101 höger - och tyngdkraften är lika över ytan till en tillräcklig approximation för att approximera planetens form som en oblat ellipsoid. Jag tror att variationen utöver detta skulle vara ett utmärkt svar i sig :-)
@SimonW: Wikipedia-sidan av [Jordens gravitation] (https://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_on_Earth#Variation_in_gravity_and_apparent_gravity) svarar antagligen på de flesta av dessa enastående frågor - det verkar ganska omfattande.
@naught101 verkar också vid polerna tyngdkraften vinkelrätt mot centripetalkraften, eftersom gravitationskraften riktas mot tyngdpunkten, medan centripetalkraften riktas mot rotationsaxeln.
@hugovdberg, det stämmer. Den större centripetala kraften i samma riktning som tyngdkraften längs ekvatorn orsakar en relativ minskning i g från perspektivet hos en roterande observatör vid ekvatorn jämfört med en observatör vid polerna. Det är detta som ger upphov till utbuktningen. Jag kommer att ge en matematisk beskrivning när matjajax läggs till.
Kraft är inte det bästa sättet att titta på detta. Energi ger en mycket bättre bild. Jordens yta är mycket nära en yta med konstant gravitation plus centrifugal potentialenergi. Jordens figur exemplifierar principen om minsta handling.
@DavidHammen, Jag förstår att de flesta använder energiargument, men jag tror personligen att kraftargumentet är mer intuitivt för dem utan fysikbakgrund.
Jag håller med om att energiorgument sällan ger mycket insikt för att förstå en fysisk fråga (åtminstone för mig!), Eftersom den ofta behandlar frågor som helhet utan att hantera fysiska orsaker: den enda orsaken är ”energi måste minimeras!”. @Geodude Hur som helst, hur du förklarar jordens utplattning med krafter är enligt min mening långt ifrån fullständig (se mitt svar och följande kommentarer). Dessutom är jag vilse i din matematiska behandling, du blandade ihop skalar och vektorer och är $ F_ {net} $ verkligen lika med $ m \ omega ^ 2r $?
@Gaialogist, Jag tror inte att jag har blandat några skalärer och vektorer - kan du påpeka dem (Gmm / r ^ 2 är en kraft och mw ^ 2r är en kraft, som båda är vektormängder)? Också ja, nettokraften för ett objekt på jorden är centripetalkraften. Om nettokraften var större än centripetal skulle objektet sjunka ner i jorden. Om nettokraften var mindre än centripetal, skulle objektet röra sig från jorden - antingen tillfälliga oscillerande hopp eller rymmer bana helt. Tyngdkraften är större än centripetal, men detta överskott balanseras av den normala kraften som står emot tyngdkraften.
För en fysiker ger energi mycket bättre insikter än kraft. Energi, inte kraft, är grunden för Lagrangian och Hamiltonian mekanik. Energi, inte kraft, är kärnan i kvantmekanik och allmän relativitet.
@DavidHammen, en bra fysiker har inga problem med att lösa problem med energiorgument eller tvångsargument. En fysiker kan känna igen när ett tillvägagångssätt är mer intuitivt än ett annat tillvägagångssätt. Enligt min mening är Newtons lagar mycket mer intuitiva än Hamilton-mekanik för klassisk fysik, men naturligtvis är lagrangians mer intuitiva att använda i kvantfysik. Med det sagt är det lättare att lösa just detta problem med hjälp av energiorgument, men inte desto mindre står jag för att vara mer intuitiv för detta problem, varför jag använde den metoden.
Hur förklarar kraft ** något ** här? Gravitationskraften är inte enhetlig. Med energi och termodynamik är det enkelt. Gravitationspotentialen överallt på ytan är nästan konstant, och anledningen är termodynamikens andra lag.
@DavidHammen, om du tittar igenom mitt svar kommer du att se hur kraft förklarar utbuktningen. Den uppenbara gravitationskraften är mindre vid ekvatorn än vid polerna, vilket är anledningen till att jorden bildar här under bildningen. Kanske kan du utarbeta din kommentar om termodynamikens andra lag? http://chat.stackexchange.com/rooms/13909/earth-science
Den kraften är mindre vid ekvatorn är en effekt, inte en orsak. Orsaken är energi och termodynamikens andra lag. (Första lagen: Du kan inte vinna. Andra lagen: Du kan inte binda heller. Tredje lagen: Det här är hur mycket du tappar, minimum.) Den andra lagen säger att om det finns någon väg till ett systems minimum energikonfiguration, kommer systemet att hitta den vägen.
@DavidHammen, Jag tror att du har tolkat mina ekvationer fel. Den minskade tyngdkraften vid ekvatorn är en orsak som inte påverkar, även om utbuktningen i slutändan kan leda till en ökad radie, och därmed minskad tyngdkraft, det var inte mitt argument.
@DavidHammen, den andra lagen om termodynamik är lagen att entropi kommer att öka http://en.wikipedia.org/wiki/Second_law_of_thermodynamics. Inte säker på hur det gäller den här situationen.
Ett annat sätt att säga det: System tenderar att maximera sin entropi. Börja med ett isolerat system. Om systemet kan gå mot ett lägre potentiellt energitillstånd kommer det att ske på grund av den andra lagen. Den minskningen av potentiell energi betyder en temperaturökning på grund av energibesparing. Entropi ökar tills systemet når sin minimala potentiella energi, vid vilken tidpunkt entropi maximeras. Ett icke-isolerat system kommer också att röra sig mot sitt potentiella energiminimalt, men nu kommer det att utstråla den värmen i rymden. Universums entropi ökar.
#2
+15
Gaialogist
2014-04-23 14:33:48 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Faktum är att anledningen till att jorden inte är en sfär är dubbelt:

  1. jorden roterar och har roterat länge
  2. jorden är inte perfekt styv, kan det till och med betraktas som en viskös vätska i långa tidsskalor

Om jorden inte roterar skulle det vara en sfär. Om jorden hade börjat rotera mycket nyligen, skulle inte vara i jämvikt, alltså förmodligen inte den ellipsoid av revolutionen vi känner till. Sist men inte minst, om jorden var helt stel, skulle den inte deformeras av någon process, inklusive rotation, och har således fortfarande sin initiala form .

Vi kan betrakta att jorden är en vätska i hydrostatisk jämvikt (dvs. en vätska i vila) vid varje punkt, med beaktande av både effekten av tyngdkraften och centrifugalkraften (pseudo) på grund av rotation. Sedan, om vi letar efter formen på jordytan under detta tillstånd, är lösningen en ellipsoid av revolution. Det är mycket nära den faktiska jordytan, vilket är ett bra bevis på att vårt ursprungliga antagande - roterande vätska i hydrostatisk jämvikt - är rimligt för lång tidsskala.

Studien av denna fråga är relaterad till den berömda Clairauts ekvation från namnet på den berömda franska forskaren som publicerade avhandlingen Théorie de la figure de la terre i slutet av 1700-talet.

OBS: om vi bara förklarar utbuktning vid ekvatorn med hänvisning till effekten av centrifugalpseudokraften och ignorerar den hydrostatiska jämviktsfrågan, bör vi dra slutsatsen att den polära radien är densamma med eller utan rotation. Men det är mindre: cirka 6357 km mot 6371 km för en sfärisk jord med lika volym.

hur vet vi vad den polära radien kommer att vara 6371 km utan rotation? 6371 km är jordens genomsnittliga radie och den är större än den polära radien eftersom ekvatorialbulten har förvrängt radien enligt min mening.
Vi vet helt enkelt att jorden skulle ha samma volym (komprimerbarhet antas) och skulle vara en sfär om den inte roterar, alltså en polar radie på 6371 km. 6371 km är _ inte_ [jordens genomsnittliga radie] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+mean+radius), det är som jag skrev radien av “en sfärisk jord med [lika stor volym ] (http://www.wolframalpha.com/input/?i=earth+volume) ”.
Bättre sent än aldrig: mitt misstag angående diskussionen om jordradier. På grund av det lilla värdet på jordplattning är 6371 km i mycket god approximation [samtidigt] (https://en.wikipedia.org/wiki/Earth_radius#Global_average_radii) (1) den aritmetiska medelradien, (2 ) den autala eller _ekstra area-radien och (3) den volymetriska eller _ekstra volymen-radie. Det ändrar dock inte den första delen av min tidigare kommentar: Jordens polära radie * modifieras också av rotationen *, vilket inte förklaras i det högst röstade / accepterade svaret.
#3
+7
David Hammen
2014-04-28 18:07:33 UTC
view on stackexchange narkive permalink

Att jorden är ungefär en oblat sfäroid förklaras bäst av energi.

Placera en marmor i en skål. Oavsett var du placerar den kommer den så småningom att vila längst ner i skålen. Det här är läget som minimerar den totala energin i marmorn som är föremål för begränsningen att vara i skålen. Häng en kedja mellan två stolpar. När kedjan vilar kommer den att få en välkänd form, en kedjekurva. Detta är den form som minimerar kedjans energi, med förbehåll för begränsningen att hänga upp mellan de två stolparna.

Om du placerar marmorn från botten rullar den en stund innan den kommer till resten. Om du drar bort kedjan från dess kedjeform kommer den att svänga fram och tillbaka ett tag innan den vilar i den stabila formen. Kedjan utanför mitten och kedjan utanför planet har större potentialenergier än de gör i sin stabila konfiguration. Om det är möjligt kommer naturen att försöka minimera den totala potentiella energin. Det är en konsekvens av termodynamikens andra lag.

För jordens fall är den minsta energikonfigurationen en yta över vilken summan av gravitations- och centrifugalpotentialenergierna är konstanta. Något som får jorden att avvika från denna ekvipotentialyta kommer att resultera i en ökning av denna potentiella energi. Jorden kommer så småningom att anpassa sig tillbaka till den minsta energikonfigurationen. Denna ekvipotentiala yta skulle vara en oblat sfäroid om det inte var för densitetsvariationer som tjock och lätt kontinental skorpa på ett ställe, tunn och tät havskorpa på en annan.

När det gäller kraft är den mängd vi kallar g gradienten för gravitations- och centrifugalpotentialenergierna (specifikt $ \ vec g = - \ nabla \ Phi $). Eftersom jordytan är mycket nära att vara en ekvipotential yta och eftersom ytan i sin tur är mycket nära att vara en oblat sfäroid, är gravitationen vid polerna nödvändigtvis något mer än den är vid ekvatorn.

Detta gravitationskraften kommer inte att vara normal mot ytan på platser där ytan avviker från ekvipotentialytan. Den tangentiella komponenten av gravitationskraften resulterar på platser där vatten rinner nedför och i spänningar och belastningar i jordens yta. De eventuella reaktionerna på dessa tangentiella krafter är erosion, översvämningar och ibland till och med jordbävningar som så småningom återför jorden till dess jämviktsform.


Uppdatering: Varför är det här rätt bild?

Baserat på kommentarer någon annanstans förstår ett antal människor inte varför energi snarare än kraft är det rätta sättet att se på detta problem, eller hur termodynamikens andra lag kommer till spel.

Det finns ett antal olika sätt att ange termodynamikens andra lag. En är att ett system tenderar till ett tillstånd som maximerar dess entropi. Lägg till exempel två block vid två olika temperaturer i kontakt med varandra. Det svalare blocket blir varmare och det varmare blocket blir kallare tills båda blocken har samma temperatur tack vare termodynamikens andra lag. Den enhetliga temperaturen är det tillstånd som maximerar entropin för detta tvåblocksystem.

Dessa två block har bara termisk energi. Vad sägs om ett system med mekanisk energi som inte är noll? Friktion kommer nästan oundvikligen att sap kinetisk energi från systemet. Den friktionen innebär att systemets mekaniska energi minskar tills det når ett globalt minimum, om någon. För en roterande, avledande, självgraviterande kropp finns det globala minimumet och det är en (mer eller mindre) oblat sfäroid form.

Har du några exempel på jordbävningar på grund av skorpans avvikelse från ekvipotentialytan snarare än tektonisk stress? Detta exempel låter konstigt för mig ... Något annat: gravitationskraften kan vara normal mot ytan även när den avviker från geoiden (och inte normal även om den inte avviker).
@Gaialogist - När det gäller din andra fråga är geoiden den ekvipotentialytan som ligger närmast havsnivån. Eftersom gravitationsacceleration är gradienten för gravitationspotentialen är gravitationsaccelerationsvektorn nödvändigtvis normal för geoiden. Det är i matematiken. Här är ett relevant svar på math.stackexchange.com: http://math.stackexchange.com/questions/122222/proving-gradient-of-a-scalar-field-is-perpendicular-to-equipotential-surface.
När det gäller din första fråga är många av dessa tektoniska spänningar en direkt följd av att jorden är borta från hydrostatisk jämvikt eller en jämviktsform. Ridge push och slab pull, till exempel.
Det är ok att tyngdkraften är normal för geoiden men ytan måste inte matcha geoiden för att ha tyngdkraften normal på den eller ömsesidigt. Tänk på en yta som är nära och parallell med geoiden men inte överlagrad: den kan ha en normal gravitation; överväga en yta som korsar geoiden: på korsningslinjen matchar de två ytorna men tyngdkraften är inte normal för jordens yta.
För min första fråga instämmer jag i jämviktsargumentet för att förklara varje rörelse i (eller på) jorden. Jag tycker bara att det är vågat att göra länken mellan tangentiella komponenter i gravitationvektorn och jordbävningar. Kanske kan denna synvinkel till och med felaktigt vända orsaker och konsekvenser (inverkan av tektoniska strukturer på gravitationella avvikelser, inte tvärtom) ...


Denna fråga och svar översattes automatiskt från det engelska språket.Det ursprungliga innehållet finns tillgängligt på stackexchange, vilket vi tackar för cc by-sa 3.0-licensen som det distribueras under.
Loading...