Beror på ditt öga. Du kan förverkliga jordens krökning genom att bara gå till stranden. Förra sommaren var jag på en vetenskaplig kryssning i Medelhavet. Jag tog två bilder av en avlägsen båt inom några sekunder: en från fartygets lägsta däck (vänster bild), den andra från vår högsta observationsplattform (cirka 16 m högre; bild till höger):

En avlägsen båt sett från 6 m (vänster) och från 22 m (höger) ovanför havsytan. Denna båt var cirka 30 km från varandra. Mina bilder, tagna med en 30x optisk zoomkamera.

Den del av båten som saknas i den vänstra bilden är dold av jordens kvasfäriska form. Faktum är att om du skulle veta båtens storlek och dess avstånd kan vi dra slutsatsen om jordens radie. Men eftersom vi redan vet detta, låt oss göra det tvärtom och dra slutsatsen till vilket avstånd vi kan se hela båten:

Avståndet $ d $ från en observatör $ O $ i en höjd $ h $ till den synliga horisonten följer ekvationen (antar en sfärisk jord):

$$ d = R \ times \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {2 \ times {R} \ gånger {h}}} {R} \ right) $$

där $ d $ och $ h $ är i meter och $ R = 6370 * 10 ^ 3m $ är radien på jorden. Tomten är så här:

Siktavstånd d (vertikal axel, i km ), som en funktion av observatörens höjd h över havsnivån (horisontell axel, i m).

Från bara 3 m över ytan, du kan se horisonten 6,2 km från varandra. Om du är 30 m hög kan du se upp till 20 km långt borta. Detta är en av anledningarna till att de forntida kulturerna, åtminstone sedan 600-talet f.Kr., visste att jorden var krökt, inte platt. De behövde bara bra ögon. Du kan läsa första hand Plinius (1: a århundradet) om den obestridliga sfäriska formen på vår planet i hans Historia Naturalis .

Tecknad film som definierar variablerna som används ovan. d är synlighetsavståndet, h är observatörens höjd O över havsnivån.

Men behandlar mer exakt frågan. Inse att horisonten är lägre än normalt (lägre än vinkelrätt mot tyngdkraften) innebär att förverkliga den vinkel ($ gamma $) som horisonten sänker under den plana horisonten (vinkel mellan $ OH $ och tangenten till cirkeln vid O , se tecknad film nedan, detta motsvarar gamma i den tecknade filmen). Denna vinkel beror på höjden $ h $ för observatören och följer ekvationen:

$$ \ gamma = \ frac {180} {\ pi} \ times \ arctan \ left (\ frac {\ sqrt {2 \ times {R} \ times {h}}} {R} \ right) $$

där gamma är i grader, se tecknade filmen nedan.

Detta resulterar i detta beroende mellan gamma (vertikal axel) och h (horisontell axel):

Horisontens vinkel under den plana jordhorisonten ( gamma , i grader, på denna vertikala axel) som en funktion av observatörens höjd h ovanför ytan (meter). Observera att den uppenbara vinkelstorleken för solen eller månen är cirka 0,5 grader. .

Så på en höjd av endast 290 m över havet kan du redan se 60 km långt och horisonten kommer att vara lägre än normalt med samma vinkelstorlek på solen (en halv grad). Medan vi normalt inte kan känna denna lilla sänkning av horisonten, finns det en billig teleskopanordning som kallas nivåmätare som låter dig peka i riktningen vinkelrätt mot tyngdkraften och avslöjar hur sänkt horisonten är när du bara är några meter hög.

När du är på ett plan ca. 10.000 m över havsnivån ser du horisonten 3,2 grader under den astronomiska horisonten (OH), det är ungefär 6 gånger solens eller månens vinkelstorlek. Och du kan se (under perfekta meteorologiska förhållanden) till ett avstånd av 357 km. Felix Baumgartner fördubblade ungefär detta antal men bilderna som cirkulerades i nyheterna togs med mycket vidvinkel, så den påtagliga krökningen på jorden som de föreslår är mestadels en artefakt av kameran , inte vad Felix faktiskt såg.

Denna påtagliga krökning på jorden är mestadels en artefakt av kamerans vidvinkelobjektiv, inte vad Felix Baumgartner egentligen såg.

Ett snabbt Google dök upp en publicerad artikel som svarade exakt på denna fråga (Lynch, 2008). Sammanfattningen säger:

Rapporter och fotografier som hävdar att visuella observatörer kan upptäcka jordens krökning från höga berg eller högflygande kommersiella flygplan undersöks. Visuella observationer dagtid visar att den minsta höjd vid vilken horisontens krökning kan detekteras är vid eller något under 35.000 fot, förutsatt att synfältet är brett (60 °) och nästan molnfritt. Höghöjningshorisonten är nästan lika skarp som havsnivåhorisonten, men dess kontrast är mindre än 10% jämfört med havsnivåhorisonten. Fotografier som påstår sig visa jordens krökning är alltid misstänkta eftersom praktiskt taget alla kameralinser projicerar en bild som lider av tunnförvrängning. För att noggrant kunna bedöma krökning från ett fotografi måste horisonten placeras exakt i mitten av bilden, dvs på den optiska axeln.

Observera att det givna minimum 10.000 km ) är en rimlig kryssningshöjd för en kommersiell trafikflygplan, men du borde förmodligen inte förvänta dig att se krökningen vid en typisk kommersiell flygning, för: så den uppenbara krökningen kommer att vara mycket liten vid denna höjd.

Lynch, DK (2008). Visuellt urskiljning av jordens krökning. Tillämpad optik , 47 (34), H39-H43.

Det är svårt att se jordens krökning från en höjd av 7 miles eller 37.000 ft (typisk kryssningshöjd för en jetliner) men lätt att se från 250 miles (typisk höjd för ISS).

Siktlinjen från ett flygplan vid 37.000 fot = 235 miles. Det är bara cirka 3,4 grader av jordens yta. Från ISS vid 250 miles är siktlinjen 1435 miles, vilket täcker cirka 19,8 grader av jordytan - mycket lättare att se kurvan från denna höjd.

De flesta människor inser inte hur stor jorden är jämfört med höjden på ett passagerarflygplan. Det är lätt att tro att vi är riktigt högt uppe, men jämförelsevis skummar vi bara ytan.

Den bifogade ritningen är i skala, men bilderna av jetliner och ISS är INTE i skala (mycket, mycket större än deras faktiska storlekar).

Utöver DrGC: s utmärkta svar kan en subjektiv bedömning av synligheten av jordens krökning hämtas från pilotens erfarenhet under många decennier. Dessa kan sammanfattas som:

• Normalt maximalt tak för kommersiella flygplan på 13,7 kilometer: Krökningen är inte uppenbar.
• Concorde tak var 18,3 kilometer, och rapporterna är inkonsekventa. Vissa kunde inte se krökningen, även om de letade efter den. Vissa piloter trodde att de kunde se det. Vissa passagerare kunde se det efter flera glas champagne.
• U2-piloter kunde generellt se krökningen vid 23 kilometer, och SR71-piloter kunde definitivt se den vid 25,9 kilometer.

Högt uppe på en topp på Hawaii omgiven av ingenting annat än vatten i alla riktningar, kan krökning vara riktigt ganska ödmjuk. Så långt som båtteorin går är det inte något jag skulle kunna använda med tanke på att jag är medveten om de oroväckande storleken på djupa havssväll och räknar oseriösa vågor, naturligtvis mellan dem är båten på en låg punkt. Att ha föräldrar som ofta använder djuphavsfiske, tillbringar mer än en vecka ute till havs, är svällarna ... enorma.

Är inte mängden krökning tillgänglig att se reducerad genom att titta på den från en mycket platt vinkel - dvs. multiplicerad med sinus för den lilla vinkeln? Vid 35000 fot är horisonten 229 miles bort och 440 miles lång, med det maximala synfältet för det mänskliga ögat på 110 grader (kan inte uppnås i praktiken) så krökningsdjupet är 78 miles, men på grund av planhet i sikten är det förkortas till cirka 2,4 miles (och mycket mindre med ett smalare synfält). Att lösa 2,4 miles på 229 avstånd över 440 miles miles går några, eller kanske cirka en mil eller mindre i praktiken genom ett fönster. Att använda ett teleskop hjälper inte eftersom allt det gör är att minska synfältets proportioner.

Gör dina egna siffror ... Jag tar ett prov med en kamera.

Låt oss säga att vi har en 4K-upplösningskamera. Så vi kan registrera 3840 x 2160 pixlar i ett tag.

Med tanke på jorden som en sfärisk kropp beror avståndet från dig till horisonten på jordens radie och din höjd med:

Avstånd = (Radie + höjd) * Sinus {arc-cosinus [Radie / (Radie + höjd)]}

Så beror på din höjd:

  | Höjd (m) | Dist. Till Hor. (Km) ||: ----------: |: ------------------: || 1 | 3,6 || 10 | 11,3 || 100 | 35,7 || 1000 | 112,9 || 10000 | 357,1 |  

En gran vinkelkamera har en 24 mm fokal som kan se 84º grader. Så avståndet mellan kanterna i horisonten är:

  | Höjd (m) | Dist. Till Hor. (Km) | Dist. Edge<>Edge (km) ||: ----------: |: ------------------: |: --------- ------------: || 1 | 3,6 | 4,8 || 10 | 11,3 | 15,1 || 100 | 35,7 | 47,8 || 1000 | 112,9 | 151,1 || 10000 | 357,1 | 477,9 |  

När du väl har dessa uppgifter behöver du bara beräkna pilen för den förväntade bågen:

Pilcirk. Arc = Radius * Cosinus [Arc-Sinus (Dist / 2 / Radius)]

Så med denna data och kamerans initiala data:

  | Höjd (m) | Dist. Till Hor. (Km) | Dist. Edge<>Edge (km) | Pil (km) | Krökning (pixel) ||: ----------: |: ------------------: |: --------- ------------: | ------------ | ------------------- || 1 | 3,6 | 4,8 | 0,000 | 0 || 10 | 11,3 | 15,1 | 0,004 | 1 |
| 100 | 35,7 | 47,8 | 0,045 | 4 || 1000 | 112,9 | 151,1 | 0,448 | 11 || 10000 | 357,1 | 477,9 | 4,482 | 36 |  

Så äntligen ... med ett perfekt siktförhållande, en välnivellerad kamera, ingen fiskögd förvrängning ... På vår 4K-kamera i 10 km höjd krökar jorden den kommer att vara 2% -> 36 pixlar på 3840 pixlar breda.

Människans öga kan inte uppfatta tydligt jordens sfäritet i en kommersiell flyghöjd. Cirka 100 km kan du ta en bild som den du visar på en super gran vinkellins.

Hoppas att det hjälper!